Seringkali kita menjumpai kurva melengkung indah menyerupai huruf ‘U’ yang menghadap ke atas atau ‘U’ terbalik yang menghadap ke bawah, bukan? Itulah representasi visual yang khas dari fungsi kuadrat! Lebih dari sekadar sederet simbol dalam persamaan matematika, fungsi kuadrat dianugerahi ciri-ciri yang unik dan sebuah persamaan yang sangat ampuh untuk memodelkan beragam fenomena menarik dalam dunia nyata di sekitar kita. Mari kita telaah lebih dalam setiap aspeknya!
Secara definisi yang jelas, fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinomial istimewa di mana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah tepat dua. Bentuk umumnya yang menjadi patokan adalah:
f(x)=ax2+bx+c
dengan ‘a’, ‘b’, dan ‘c’ adalah konstanta yang memiliki nilai tetap, dan yang terpenting, nilai ‘a’ tidak boleh sama dengan nol. Nilai ‘a’ inilah yang memegang kendali atas arah bukaan parabola pada grafiknya: jika ‘a’ bernilai positif, parabola akan terbuka ke atas, seolah tersenyum; dan jika ‘a’ bernilai negatif, parabola akan terbuka ke bawah, seolah sedang bersedih.
Lalu, apa saja ciri-ciri unik yang melekat pada fungsi kuadrat ini? Pertama, grafiknya senantiasa membentuk sebuah parabola yang anggun dan simetris. Kedua, ia memiliki sebuah titik puncak (vertex), yang merupakan titik tertinggi atau titik terendah pada keseluruhan kurva. Koordinat titik puncak yang krusial ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus x=−b/(2a) untuk mendapatkan absisnya (nilai x), dan kemudian substitusikan nilai x ini kembali ke dalam persamaan fungsi untuk mendapatkan ordinatnya (nilai y). Ketiga, fungsi kuadrat memiliki sumbu simetri, yaitu sebuah garis vertikal lurus yang melewati titik puncak dan secara sempurna membagi parabola menjadi dua bagian yang identik, bagaikan cermin. Persamaan sumbu simetri ini tak lain adalah x=−b/(2a), sama dengan absis titik puncak. Keempat, nilai diskriminan (D=b2−4ac) memberikan informasi penting tentang berapa banyak titik potong grafik dengan sumbu x: jika D > 0, terdapat dua titik potong yang berbeda; jika D = 0, terdapat tepat satu titik potong (parabola menyinggung sumbu x); dan jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x sama sekali.